Цього року до завдань НМТ з математики внесуть рівняння з параметром. Ця новина налякала багатьох абітурієнтів, які вважають цю тему складною. Однак завдань з розгорнутою відповіддю у мультитесті не буде, а тому і самі рівняння будуть простішими, ніж у ЗНО 2019-2021 років. Mathema розібрала один приклад рівняння з параметром та пояснює як їх розвʼязувати.
Як розв’язати рівняння з параметром?
Учню потрібно знайти всі значення параметра, при якому рівняння має розв’язок. При одних значень параметра рівняння може не мати розв’язків взагалі, при інших — мати нескінченну кількість. І всі ці випадки потрібно дослідити. Спробуйте пройти демонстраційну версію НМТ з математики від Mathmema за посиланням.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Яку послідовність кроків потрібно виконати, щоб розв’язати такі рівняння ?
- Знайти область допустимих значень змінної та параметра. Це всі значення “X”, при яких рівняння або нерівність можна розвʼязати.
- Виразити змінну через параметри.
- Для кожного допустимого значення параметра знайти множину значень рівняння.
Які бувають типи завдань з параметрами
- На знаходження значень параметра, при яких рівняння має розв’язки;
- На знаходження значень параметра, при яких рівняння має певну кількість розв’язків;
- На знаходження значень параметра, при яких розв’язки рівняння задовольняють вказану умову.
Способи розвʼязань рівняння з параметром
Існує два способи розвʼязання рівнянь за параметром: розрахунковий та графічний. Проаналізувавши завдання, які пропонують цього року у своїх збірниках різні автори, можна зробити висновок, що більшість завдань можна розв’язати графічно.
Наведемо приклад: скільки розв’язків, залежно від значення а, має система рівнянь при:

Побудуємо графіки функцій, які входять у систему рівнянь. Перша функція описує коло з центром у точці (0;0) і радіусом 4. Друга — парабола, зміщена по осі “ОX” на “а” одиниць.
При “а < -4” парабола перетинає коло у чотирьох точках. Отже, рівняння має 4 розв’язки.

При “а = -4” парабола перетинає коло у трьох точках. Отже, рівняння має 3 розв’язки.

При “-4 < a <4” парабола перетинає коло у двох точках. Отже, рівняння має 2 розв’язки.

При “а = 4” парабола перетинає коло в одній точці. Отже, рівняння має 1 розв’язок.

При “а > 4” парабола не має з колом жодної спільної точки. Отже, рівняння не має розв’язків.

Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини