Как решить уравнение с параметрами на НМТ? Примеры и советы

В этом году в задания НМТ по математике добавят уравнения с параметром. Эта новость настораживает многих абитуриентов, которые считают эту тему сложной. Однако заданий с развёрнутым ответом в мультисте не будет, поэтому сами уравнения будут проще, чем в ЗНО 2019-2021 годов. Mathema разобрала один пример уравнения с параметром и объясняет, как их решать.

Как решать уравнения с параметром?

Ученику нужно найти все значения параметра, при которых уравнение имеет решение. При некоторых значениях параметра уравнение может не иметь решений вообще, при других – иметь бесконечное количество. И все эти случаи нужно исследовать.

Какую последовательность шагов необходимо выполнить, чтобы решить такие уравнения?

1. Найти допустимые значения переменной и параметра. Это все значения “X”, при которых уравнение или неравенство можно решить.
2. Выразить переменную через параметры.
3. Для каждого допустимого значения параметра найти множество значений уравнения.

Какие бывают типы задач с параметрами

1. На поиск значений параметра, при которых уравнение имеет решения;
2. На поиск значений параметра, при которых уравнение имеет определенное количество решений;
3. На поиск значений параметра, при которых решения уравнения удовлетворяют указанному условию.

Способы решения уравнения с параметром

Существует два способа решения уравнений с параметром: вычислительный и графический. Проанализировав задания, которые предлагают в этом году в своих сборниках различные авторы, можно сделать вывод, что большинство задач можно решить графически.

Приведем пример: сколько решений, в зависимости от значения а, имеет система уравнений при:

Построим графики функций, которые входят в систему уравнений. Первая функция описывает окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 4. Вторая функция – парабола, сдвинутая по оси “ОХ” на “а” единиц.

При “а < -4” парабола пересекает окружность в четырех точках. Следовательно, у уравнения 4 решения.

При “a = -4” парабола пересекает окружность в трех точках. Следовательно, у уравнения 3 решения.

При “-4 < a < 4” парабола пересекает окружность в двух точках. Следовательно, у уравнения 2 решения.

При “а = 4” парабола пересекает окружность в одной точке. Следовательно, у уравнения 1 решение.

При “а > 4” парабола не имеет ни одной общей точки с окружностью. Следовательно, у уравнения нет решений.

В Демонстраційному варіанті НМТ з математики на 2024 рік завдань з параметрами немає. Однак наші репетитори, підготовлюючи учнів, приділяють увагу цій темі. Ми рекомендуємо вам ретельно ознайомитися з нею для успішного складання іспиту.