В цій статті освітня платформа Mathema доступно пояснює, що таке теорема Вієта зведено квадратного рівняння, обернена теорема Вієта, розповідає про формули теореми Вієта та їх застосування до зведеного квадратного рівняння. Стаття створена для учнів 8 класу та їх батьків.
Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння (a=1)
Це формули, які виражають коефіцієнти многочлена через його корені. Теорема названа на честь Франсуа Вієта, французького математика. За допомогою теореми Вієта зазвичай розвʼязують зведені квадратні рівняння, тобто якщо коефіцієнт a=1. Ось як звучить формулювання теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:
Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
Формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння
Ось як виглядає формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:
\[x^2+px+q=0,\;тоді\;x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]
Така формула теореми Вієта дозволяє, не знаючи коренів квадратного тричлена, обчислити їх суму та добуток.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Застосування теореми Вієта
Розберімо теорему Вієта та формулу теореми Вієта на простому прикладі. Це дозволить зрозуміти, яку правильно вирішувати зведені квадратні рівняння з її допомогою.
И знайти корені рівняння використовуючи теорему Вієта.
\[x^2-5x+6=0\]Розвʼязок: Відповідно до теореми Вієта запишемо:
\[x_1+x_2=5\] \[x_1\cdot x_2=6\]Підбираємо значення 𝑥, які задовольняє рівність:
\[x_1=\;2;\;x_2=3\]Відповідь: корені рівняння дорівнюють 2 та 3.
Обернена теорема Вієта
Поняття обернена теорема Вієта говорить сама за себе, адже вона працює рівно навпаки. За допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта, можна підбирати корені зведених квадратних рівнянь.
Якщо деякі два числа такі, що їхня сума дорівнює другому коефіцієнту зведеного квадратного рівняння, узятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює його вільному члену, то дані числа є коренями цього зведеного квадратного рівняння.
Як застосовувати обернену теорему Вієта
Завдання: Складіть квадратне рівняння, знаючи його корені.
\[x_1=\;3;\;x_2=-1\]Розвʼязок: Нехай шукане квадратне рівняння, має вигляд:
\[x^2+px+q=0\]Використовуючи обернену теорему Вієта отримаємо такі співвідношення:
\[x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]Тепер знайдемо значення 𝑝 та 𝑞
\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\] \[q=x_1\cdot x_2\;=\;3\cdot(-1)=-3\]Відповідь: рівняння, яке ми шукали виглядає так
\[x^2-2x-3=0\]Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
