Теорема Вієта та обернена до неї теорема

26 12 2023

15 05 2024

Теорема Вієта та обернена до неї теорема

В цій статті освітня платформа Mathema доступно пояснює, що таке теорема Вієта зведено квадратного рівняння, обернена теорема Вієта, розповідає про формули теореми Вієта та їх застосування до зведеного квадратного рівняння. Стаття створена для учнів 8 класу та їх батьків.

Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння (a=1)

Це формули, які виражають коефіцієнти многочлена через його корені. Теорема названа на честь Франсуа Вієта, французького математика. За допомогою теореми Вієта зазвичай  розвʼязують зведені квадратні рівняння, тобто якщо коефіцієнт a=1. Ось як звучить формулювання теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння

Ось як виглядає формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\[x^2+px+q=0,\;тоді\;x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]

Така формула теореми Вієта дозволяє, не знаючи коренів  квадратного тричлена, обчислити їх суму та добуток.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Застосування теореми Вієта

Розберімо теорему Вієта  та формулу теореми Вієта на простому прикладі. Це дозволить зрозуміти, яку правильно вирішувати зведені квадратні рівняння з її допомогою.

И знайти корені  рівняння використовуючи теорему Вієта.

\[x^2-5x+6=0\]

Розвʼязок: Відповідно до теореми Вієта запишемо:

\[x_1+x_2=5\] \[x_1\cdot x_2=6\]

Підбираємо значення 𝑥, які задовольняє рівність:

\[x_1=\;2;\;x_2=3\]

Відповідь: корені рівняння дорівнюють 2 та 3.

Обернена теорема Вієта

Поняття обернена теорема Вієта говорить сама за себе, адже вона працює рівно навпаки. За допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта, можна підбирати корені зведених квадратних рівнянь.

Якщо деякі два числа такі, що їхня сума дорівнює другому коефіцієнту зведеного квадратного рівняння, узятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює його вільному члену, то дані числа є коренями цього зведеного квадратного рівняння.

Як застосовувати обернену теорему Вієта

Завдання: Складіть квадратне рівняння, знаючи його корені.

\[x_1=\;3;\;x_2=-1\]

Розвʼязок: Нехай шукане квадратне рівняння, має вигляд:

\[x^2+px+q=0\]

Використовуючи обернену теорему Вієта отримаємо такі співвідношення:

\[x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]

Тепер знайдемо значення 𝑝 та 𝑞

\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\] \[q=x_1\cdot x_2\;=\;3\cdot(-1)=-3\]

Відповідь: рівняння, яке ми шукали виглядає так

\[x^2-2x-3=0\]

Репетитори з математики для 8 класу допоможуть учню розібратися в темі квадратних рівнянь і зокрема пояснять як користуватися теоремою Вієта.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Редактор блогу Mathema

У якому класі навчається дитина?
Який рівень знань у дитини?
Раніше займалися з репетитором?
Ваше iм'я
Hidden
Hidden

Теорема Вієта та обернена до неї теорема

грн./год
  • Освiта:
  • Стаж:
  • Проведенно урокiв
  • Спецiалiзацiя:
  • Категорiя:
  • Мови викладання
Забронювати урок

Про репетитора

В цій статті освітня платформа Mathema доступно пояснює, що таке теорема Вієта зведено квадратного рівняння, обернена теорема Вієта, розповідає про формули теореми Вієта та їх застосування до зведеного квадратного рівняння. Стаття створена для учнів 8 класу та їх батьків.

Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння (a=1)

Це формули, які виражають коефіцієнти многочлена через його корені. Теорема названа на честь Франсуа Вієта, французького математика. За допомогою теореми Вієта зазвичай  розвʼязують зведені квадратні рівняння, тобто якщо коефіцієнт a=1. Ось як звучить формулювання теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння

Ось як виглядає формула теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\[x^2+px+q=0,\;тоді\;x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]

Така формула теореми Вієта дозволяє, не знаючи коренів  квадратного тричлена, обчислити їх суму та добуток.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Застосування теореми Вієта

Розберімо теорему Вієта  та формулу теореми Вієта на простому прикладі. Це дозволить зрозуміти, яку правильно вирішувати зведені квадратні рівняння з її допомогою.

И знайти корені  рівняння використовуючи теорему Вієта.

\[x^2-5x+6=0\]

Розвʼязок: Відповідно до теореми Вієта запишемо:

\[x_1+x_2=5\] \[x_1\cdot x_2=6\]

Підбираємо значення 𝑥, які задовольняє рівність:

\[x_1=\;2;\;x_2=3\]

Відповідь: корені рівняння дорівнюють 2 та 3.

Обернена теорема Вієта

Поняття обернена теорема Вієта говорить сама за себе, адже вона працює рівно навпаки. За допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта, можна підбирати корені зведених квадратних рівнянь.

Якщо деякі два числа такі, що їхня сума дорівнює другому коефіцієнту зведеного квадратного рівняння, узятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює його вільному члену, то дані числа є коренями цього зведеного квадратного рівняння.

Як застосовувати обернену теорему Вієта

Завдання: Складіть квадратне рівняння, знаючи його корені.

\[x_1=\;3;\;x_2=-1\]

Розвʼязок: Нехай шукане квадратне рівняння, має вигляд:

\[x^2+px+q=0\]

Використовуючи обернену теорему Вієта отримаємо такі співвідношення:

\[x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]

Тепер знайдемо значення 𝑝 та 𝑞

\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\] \[q=x_1\cdot x_2\;=\;3\cdot(-1)=-3\]

Відповідь: рівняння, яке ми шукали виглядає так

\[x^2-2x-3=0\]

Репетитори з математики для 8 класу допоможуть учню розібратися в темі квадратних рівнянь і зокрема пояснять як користуватися теоремою Вієта.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Бiльше інформації про репетитора

Iншi вчителi

Оксана Татар

250-350 грн./год

Юлія Багнюк

250-350 грн./год

Кирило Бондарєв

250-350 грн./год