В этой статье образовательная платформа Mathema доступно объясняет, что такое теорема Виета для сведенного квадратного уравнения, обратная теорема Виета, рассказывает о формулах теоремы Виета и их применении к сведенному квадратному уравнению. Статья создана для учеников 8 класса и их родителей.
Теорема Виета для сведенного квадратного уравнения (a=1)
Это формулы, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни. Теорема названа в честь Франсуа Виета, французского математика. С помощью теоремы Виета обычно решают сведенные квадратные уравнения, то есть если коэффициент a=1. Вот как звучит формулировка теоремы Виета для сведенного квадратного уравнения:
Сумма корней сведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Формула теоремы Виета для сводного квадратного уравнения
Вот как выглядит формула теоремы Виета для сводного квадратного уравнения:
\[x^2+px+q=0,\;тоді\;x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]
Такая формула теоремы Виета позволяет, не зная корней квадратного трехчлена, вычислить их сумму и произведение.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Применение теоремы Виета
Разберем теорему Виета и формулу теоремы Виета на простом примере. Это позволит понять, как правильно решать сводные квадратные уравнения с ее помощью.
И найти корни уравнения используя теорему Виета.
\[x^2-5x+6=0\]Решение: Согласно теореме Виета запишем:
\[x_1+x_2=5\] \[x_1\cdot x_2=6\]Подбираем значения 𝑥, удовлетворяющие равенству:
\[x_1=\;2;\;x_2=3\]Ответ: корни уравнения равны 2 и 3.
Обратная теорема Виета
Понятие обратная теорема Виета говорит сама за себя, ведь она работает ровно наоборот. С помощью теоремы, обращенной к теореме Виета, можно подбирать корни сводных квадратных уравнений.
Если некоторые два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту сводного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно его свободному члену, то данные числа являются корнями этого сводного квадратного уравнения.
Как применять обратную теорему Виета
Задание: Составьте квадратное уравнение, зная его корни.
\[x_1=\;3;\;x_2=-1\]Решение: Пусть искомое квадратное уравнение, имеет вид:
\[x^2+px+q=0\]Используя обратную теорему Виета получим следующие соотношения:
\[x_1\cdot x_2=q;\;x_1+x_2=-p\]Теперь найдем значения 𝑝 и 𝑞
\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\] \[q=x_1\cdot x_2\;=\;3\cdot(-1)=-3\]Ответ: уравнение, которое мы искали, выглядит так
\[x^2-2x-3=0\]Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
