Основні тригонометричні формули. Тригонометрична таблиця

25 07 2023

05 06 2024

Основні тригонометричні формули

Тригонометрична таблиця

Основи тригонометрії, зокрема, означення функцій та основні тотожності починають вивчати на геометрії у 8-му класі, продовжують у 9-му. Цей розділ математики лежить на перетині алгебри та геометрії і є однією із найскладніших тем в шкільній програмі. Найбільша складність полягає в запамʼятовуванні великої кількості тригонометричних формул. Mathema підготувала статтю з основними тригонометричними формулами, тригонометричними функціями кутів, тригонометричними тотожностями та іншими корисними матеріалами.

Що потрібно знати для розуміння тригонометричних формул

  • Тригонометрія — це розділ математики, який вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників. На основі тригонометричних формул математики можуть проводити обчислення кутів.
  • Синус — в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи
  • Косинус — в прямокутному трикутнику косинус гострого кута визначається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенс — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета.
  • Котангенс — це відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Основні тригонометричні формули:

Ці формули знадобляться при розвʼязуванні тригонометричних задач в шкільній програмі. Тут зібрані найбільш поширені формули, а також таблиця тригонометричних функцій деяких кутів.

Співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу

\[\sin^2a+\cos^2a\;=\;1\] \[tg\;a=\frac{\sin\;a}{\cos\;a}\] \[tg\;a\;\cdot ctg\;a\;=\;1\] \[1+tg^2a=\frac1{\cos^{2\;}a}\] \[1+ctg^2a=\frac1{\sin^{2\;}a}\]

Формули додавання

\[\sin(a\pm b)=\sin a\cdot\cos b\pm\cos a\cdot\sin b\] \[\cos(a\pm b)=\mathrm{cosa}\cdot\cos b\pm\sin a\cdot\mathrm{sinb}\] \[tg(a\pm b)=\frac{tg\;a+tg\;b}{1\pm tg\;a\cdot tg\;b},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;b\neq\frac\pi2+\pi n,\;a\pm b\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;(a\;\pm b)\;=\;\frac{ctg\;a\cdot ctg\;b\pm1}{ctg\;a\pm ctg\;b},a\neq\pi n,\;b\neq\pi n,\;a\pm b\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]

Формули подвійного аргументу

\[\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\] \[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a\] \[tg\;2a\;=\;\frac{2tg\;a}{1-\;tg^2a}\] \[ctg\;2a\;=\;\frac{ctg^2\;a-1}{2tg\;a}\]

Формули потрійного аргументу

\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a}\]

Формула зниження степеня

\[\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2\] \[\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2\]

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму

\[\sin a\cdot\sin b=\frac12(\cos(a-b)-(\cos(a+b))\] \[\cos a\cdot\cos b=\frac12(\cos(a-b)+(\cos(a+b))\] \[\sin a\cdot\cos b=\frac12(\sin(a-b)+(\sin(a+b))\]

Формули половинного аргументу

\[sina2=±1-cosa2\] \[\cos\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}2}\] \[tg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos\;a}}=\frac{\sin a}{1+\cos a},\;a\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[tg\frac a2=\frac{1-\cos a}{\sin a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}=\;\frac{\sin a}{1-\cos a},\;a\neq2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\frac{1+\cos a}{\sin a}\;,\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[\sin^2\frac a2=\frac{1-\cos\alpha}2\] \[\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2\] \[tg^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\] \[сtg^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}{1-\;\cos\alpha}\]

Тригонометрична таблиця деяких кутів

В цій таблиці записані значення синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів деяких кутів, які найчастіше зустрічаються в шкільній тригонометрії. Таку таблицю варто постійно тримати під рукою, або ж спробувати запамʼятати її значення. Зробити це простіше, ніж здається, адже деякі значення повторюються. Наприклад, tg 30° дорівнює ctg 60° і навпаки tg60° дорівнює ctg30°.

t град030°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sin t0\[\frac12\]\[\frac{\sqrt2}2\]\[\frac{\sqrt3}2\]10-10
cos t1\[\frac{\sqrt3}2\]\[\frac{\sqrt2}2\]\[\frac12\]0-101
tg t0\[\frac{\sqrt3}3\]1\[\sqrt3\]00
ctg t\[\sqrt3\]1\[\frac{\sqrt3}3\]00

Що вивчає тригонометрія?

Тригонометрія — це галузь математики, яка вивчає взаємозв’язки між кутами та сторонами трикутників. Саме слово “тригонометрія” походить від грецьких слів “трία” (три) і “γωνία” (кут). Тригонометричні функції допомагають нам розуміти, як змінюються сторони трикутника, коли ми змінюємо його кути. Це дозволяє нам вирішувати різні завдання, такі як вимірювання відстаней, висот будівель, кутів на карті та багато іншого.

Наприклад, якщо ми маємо прямокутний трикутник і знаємо один кут та довжину однієї з його сторінки, ми можемо за допомогою тригонометрії встановити довжину іншої сторінки цього трикутника.

Тригонометрія має дуже широкий спектр застосування у таких науках, як інженерія, астрономія, фізика, комп’ютерна графіка, медицина та інші науки. Вивчення тригонометрії допоможе вам розвинути логічне мислення та математичні навички та знайти відповіді на різні питання, які стосуються кутів і сторінок трикутників.

Репетитори з математики для 10 класу, які працюють в освітній платформі Mathema допоможуть розібратися із всіма труднощами тригонометрії, підготують до контрольної роботи і розберуть домашні завдання.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Kurator nauczycieli w szkole Mathema.me

Opiekuje się nauczycielami i zajmuje się nauczaniem nowych korepetytorów

У якому класі навчається дитина?
Який рівень знань у дитини?
Раніше займалися з репетитором?
Ваше iм'я
Hidden
Hidden
Hidden
Hidden
Hidden
Hidden
Hidden

Основні тригонометричні формули. Тригонометрична таблиця

грн./год
  • Освiта:
  • Стаж:
  • Проведенно урокiв
  • Спецiалiзацiя:
  • Категорiя:
  • Мови викладання
Забронювати урок

Про репетитора

Основи тригонометрії, зокрема, означення функцій та основні тотожності починають вивчати на геометрії у 8-му класі, продовжують у 9-му. Цей розділ математики лежить на перетині алгебри та геометрії і є однією із найскладніших тем в шкільній програмі. Найбільша складність полягає в запамʼятовуванні великої кількості тригонометричних формул. Mathema підготувала статтю з основними тригонометричними формулами, тригонометричними функціями кутів, тригонометричними тотожностями та іншими корисними матеріалами.

Що потрібно знати для розуміння тригонометричних формул

  • Тригонометрія — це розділ математики, який вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників. На основі тригонометричних формул математики можуть проводити обчислення кутів.
  • Синус — в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи
  • Косинус — в прямокутному трикутнику косинус гострого кута визначається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенс — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета.
  • Котангенс — це відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Основні тригонометричні формули:

Ці формули знадобляться при розвʼязуванні тригонометричних задач в шкільній програмі. Тут зібрані найбільш поширені формули, а також таблиця тригонометричних функцій деяких кутів.

Співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу

\[\sin^2a+\cos^2a\;=\;1\] \[tg\;a=\frac{\sin\;a}{\cos\;a}\] \[tg\;a\;\cdot ctg\;a\;=\;1\] \[1+tg^2a=\frac1{\cos^{2\;}a}\] \[1+ctg^2a=\frac1{\sin^{2\;}a}\]

Формули додавання

\[\sin(a\pm b)=\sin a\cdot\cos b\pm\cos a\cdot\sin b\] \[\cos(a\pm b)=\mathrm{cosa}\cdot\cos b\pm\sin a\cdot\mathrm{sinb}\] \[tg(a\pm b)=\frac{tg\;a+tg\;b}{1\pm tg\;a\cdot tg\;b},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;b\neq\frac\pi2+\pi n,\;a\pm b\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;(a\;\pm b)\;=\;\frac{ctg\;a\cdot ctg\;b\pm1}{ctg\;a\pm ctg\;b},a\neq\pi n,\;b\neq\pi n,\;a\pm b\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]

Формули подвійного аргументу

\[\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\] \[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a\] \[tg\;2a\;=\;\frac{2tg\;a}{1-\;tg^2a}\] \[ctg\;2a\;=\;\frac{ctg^2\;a-1}{2tg\;a}\]

Формули потрійного аргументу

\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a}\]

Формула зниження степеня

\[\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2\] \[\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2\]

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму

\[\sin a\cdot\sin b=\frac12(\cos(a-b)-(\cos(a+b))\] \[\cos a\cdot\cos b=\frac12(\cos(a-b)+(\cos(a+b))\] \[\sin a\cdot\cos b=\frac12(\sin(a-b)+(\sin(a+b))\]

Формули половинного аргументу

\[sina2=±1-cosa2\] \[\cos\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}2}\] \[tg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos\;a}}=\frac{\sin a}{1+\cos a},\;a\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[tg\frac a2=\frac{1-\cos a}{\sin a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}=\;\frac{\sin a}{1-\cos a},\;a\neq2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\frac{1+\cos a}{\sin a}\;,\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[\sin^2\frac a2=\frac{1-\cos\alpha}2\] \[\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2\] \[tg^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\] \[сtg^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}{1-\;\cos\alpha}\]

Тригонометрична таблиця деяких кутів

В цій таблиці записані значення синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів деяких кутів, які найчастіше зустрічаються в шкільній тригонометрії. Таку таблицю варто постійно тримати під рукою, або ж спробувати запамʼятати її значення. Зробити це простіше, ніж здається, адже деякі значення повторюються. Наприклад, tg 30° дорівнює ctg 60° і навпаки tg60° дорівнює ctg30°.

t град030°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sin t0\[\frac12\]\[\frac{\sqrt2}2\]\[\frac{\sqrt3}2\]10-10
cos t1\[\frac{\sqrt3}2\]\[\frac{\sqrt2}2\]\[\frac12\]0-101
tg t0\[\frac{\sqrt3}3\]1\[\sqrt3\]00
ctg t\[\sqrt3\]1\[\frac{\sqrt3}3\]00

Що вивчає тригонометрія?

Тригонометрія — це галузь математики, яка вивчає взаємозв’язки між кутами та сторонами трикутників. Саме слово “тригонометрія” походить від грецьких слів “трία” (три) і “γωνία” (кут). Тригонометричні функції допомагають нам розуміти, як змінюються сторони трикутника, коли ми змінюємо його кути. Це дозволяє нам вирішувати різні завдання, такі як вимірювання відстаней, висот будівель, кутів на карті та багато іншого.

Наприклад, якщо ми маємо прямокутний трикутник і знаємо один кут та довжину однієї з його сторінки, ми можемо за допомогою тригонометрії встановити довжину іншої сторінки цього трикутника.

Тригонометрія має дуже широкий спектр застосування у таких науках, як інженерія, астрономія, фізика, комп’ютерна графіка, медицина та інші науки. Вивчення тригонометрії допоможе вам розвинути логічне мислення та математичні навички та знайти відповіді на різні питання, які стосуються кутів і сторінок трикутників.

Репетитори з математики для 10 класу, які працюють в освітній платформі Mathema допоможуть розібратися із всіма труднощами тригонометрії, підготують до контрольної роботи і розберуть домашні завдання.

Шукаєш репетитора з математики?

Mathema підбере викладача під потреби дитини

Подати заявку на урок-діагностику

Бiльше інформації про репетитора

Iншi вчителi

Оксана Татар

250-350 грн./год

Юлія Багнюк

250-350 грн./год

Кирило Бондарєв

250-350 грн./год