Основи тригонометрії, зокрема, означення функцій та основні тотожності починають вивчати на геометрії у 8-му класі, продовжують у 9-му. Цей розділ математики лежить на перетині алгебри та геометрії і є однією із найскладніших тем в шкільній програмі. Найбільша складність полягає в запамʼятовуванні великої кількості тригонометричних формул. Mathema підготувала статтю з основними тригонометричними формулами, тригонометричними функціями кутів, тригонометричними тотожностями та іншими корисними матеріалами.
Що потрібно знати для розуміння тригонометричних формул
- Тригонометрія — це розділ математики, який вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників. На основі тригонометричних формул математики можуть проводити обчислення кутів.
- Синус — в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи
- Косинус — в прямокутному трикутнику косинус гострого кута визначається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
- Тангенс — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета.
- Котангенс — це відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Основні тригонометричні формули:
Ці формули знадобляться при розвʼязуванні тригонометричних задач в шкільній програмі. Тут зібрані найбільш поширені формули, а також таблиця тригонометричних функцій деяких кутів.
Співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу
\[\sin^2a+\cos^2a\;=\;1,\;а\in R\] \[tg\;a=\frac{\sin\;a}{\cos\;a},\;а\;\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[tg\;a\;\cdot ctg\;a\;=\;1,\;a\neq\frac{\pi n}2,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[1+tg^2a=\frac1{\cos^{2\;}a},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[1+ctg^2a=\frac1{\sin^{2\;}a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формули додавання
\[\sin(a\pm b)=\sin a\cdot\cos b\pm\cos a\cdot\sin b\] \[\cos(a\pm b)=\mathrm{cosa}\cdot\cos b\pm\sin a\cdot\mathrm{sinb}\] \[tg(a\pm b)=\frac{tg\;a+tg\;b}{1\pm tg\;a\cdot tg\;b},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;b\neq\frac\pi2+\pi n,\;a\pm b\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;(a\;\pm b)\;=\;\frac{ctg\;a\cdot ctg\;b\pm1}{ctg\;a\pm ctg\;b},a\neq\pi n,\;b\neq\pi n,\;a\pm b\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формули подвійного аргументу
\[\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\] \[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a\] \[tg\;2a\;=\;\frac{2tg\;a}{1-\;tg^2a},\;a\neq\frac\pi4+\pi n,\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;2a\;=\;\frac{ctg^2\;a-1}{2tg\;a},\;a\neq\frac{\pi\kappa}2,\;n\;\in\mathbb{Z}\]
Формули потрійного аргументу
\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a},\;a\neq\frac\pi6(2n+1),\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a},\;a\neq\frac{\pi n}3,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формула зниження степеня
\[\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2\] \[\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2\]
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму
\[\sin a\cdot\sin b=\frac12(\cos(a-b)-(\cos(a+b))\] \[\cos a\cdot\cos b=\frac12(\cos(a-b)+(\cos(a+b))\] \[\sin a\cdot\cos b=\frac12(\sin(a-b)+(\sin(a+b))\]
Формули половинного аргументу
\[sina2=±1-cosa2\] \[\cos\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}2}\] \[tg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos\;a}}=\frac{\sin a}{1+\cos a},\;a\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[tg\frac a2=\frac{1-\cos a}{\sin a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}=\;\frac{\sin a}{1-\cos a},\;a\neq2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\frac{1+\cos a}{\sin a}\;,\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Тригонометрична таблиця деяких кутів
В цій таблиці записані значення синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів деяких кутів, які найчастіше зустрічаються в шкільній тригонометрії. Таку таблицю варто постійно тримати під рукою, або ж спробувати запамʼятати її значення. Зробити це простіше, ніж здається, адже деякі значення повторюються. Наприклад, tg 30° дорівнює ctg 60° і навпаки tg60° дорівнює ctg30°.
| t град | 0 | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| sin t | 0 | \[\frac12\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac{\sqrt3}2\] | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cos t | 1 | \[\frac{\sqrt3}2\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac12\] | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tg t | 0 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 1 | \[\sqrt3\] | – | 0 | – | 0 |
| ctg t | – | \[\sqrt3\] | 1 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 0 | – | 0 | – |
Що вивчає тригонометрія?
Тригонометрія — це галузь математики, яка вивчає взаємозв’язки між кутами та сторонами трикутників. Саме слово “тригонометрія” походить від грецьких слів “трία” (три) і “γωνία” (кут). Тригонометричні функції допомагають нам розуміти, як змінюються сторони трикутника, коли ми змінюємо його кути. Це дозволяє нам вирішувати різні завдання, такі як вимірювання відстаней, висот будівель, кутів на карті та багато іншого.
Наприклад, якщо ми маємо прямокутний трикутник і знаємо один кут та довжину однієї з його сторінки, ми можемо за допомогою тригонометрії встановити довжину іншої сторінки цього трикутника.
Тригонометрія має дуже широкий спектр застосування у таких науках, як інженерія, астрономія, фізика, комп’ютерна графіка, медицина та інші науки. Вивчення тригонометрії допоможе вам розвинути логічне мислення та математичні навички та знайти відповіді на різні питання, які стосуються кутів і сторінок трикутників.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
