- 1 Основные тригонометрические формулы:
- 2 Формулы сложения
- 3 Формулы двойного аргумента
- 4 Формулы тройного аргумента
- 5 Формула снижения степени
- 6 Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
- 7 Формулы половинного аргумента
- 8 Тригонометрическая таблица некоторых углов
- 9 Что изучает тригонометрия?
Основы тригонометрии, в частности, определение функций и основные тождества начинают изучать на геометрии в 8-м классе, продолжают в 9-м. Этот раздел математики лежит на алгебре и геометрии и является одной из самых сложных тем в школьной программе. Наибольшая сложность состоит в запоминании большого количества тригонометрических формул. Mathema подготовила статью с основными тригонометрическими формулами, тригонометрическими функциями углов, тригонометрическими тождествами и другими полезными материалами.
Что нужно знать для понимания тригонометрических формул
- Тригонометрия – это раздел математики, изучающий соотношение между сторонами и углами треугольников. На основе тригонометрических формул математики могут производить вычисление углов.
- Синус — в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противоположного катета к гипотенузе
- Косинус – в прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилегающего катета к гипотенузе.
- Тангенс – это отношение длины противоположного катета к длине близлежащего катета.
- Котангенс – это отношение длины близлежащего катета к длине противоположного катета
Основные тригонометрические формулы:
Эти формулы пригодятся при решении тригонометрических задач в школьной программе. Здесь собраны наиболее распространенные формулы, а также таблицы тригонометрических функций некоторых углов.
Соотношение между тригонометрическими функциями того же аргумента
\[\sin^2a+\cos^2a\;=\;1,\;а\in R\] \[tg\;a=\frac{\sin\;a}{\cos\;a},\;а\;\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[tg\;a\;\cdot ctg\;a\;=\;1,\;a\neq\frac{\pi n}2,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[1+tg^2a=\frac1{\cos^{2\;}a},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[1+ctg^2a=\frac1{\sin^{2\;}a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы сложения
\[\sin(a\pm b)=\sin a\cdot\cos b\pm\cos a\cdot\sin b\] \[\cos(a\pm b)=\mathrm{cosa}\cdot\cos b\pm\sin a\cdot\mathrm{sinb}\] \[tg(a\pm b)=\frac{tg\;a+tg\;b}{1\pm tg\;a\cdot tg\;b},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;b\neq\frac\pi2+\pi n,\;a\pm b\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;(a\;\pm b)\;=\;\frac{ctg\;a\cdot ctg\;b\pm1}{ctg\;a\pm ctg\;b},a\neq\pi n,\;b\neq\pi n,\;a\pm b\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы двойного аргумента
\[\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\] \[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a\] \[tg\;2a\;=\;\frac{2tg\;a}{1-\;tg^2a},\;a\neq\frac\pi4+\pi n,\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\;\in\mathbb{Z}\] \[ctg\;2a\;=\;\frac{ctg^2\;a-1}{2tg\;a},\;a\neq\frac{\pi\kappa}2,\;n\;\in\mathbb{Z}\]
Формулы тройного аргумента
\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a},\;a\neq\frac\pi6(2n+1),\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a},\;a\neq\frac{\pi n}3,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формула снижения степени
\[\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2\] \[\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2\]
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
\[\sin a\cdot\sin b=\frac12(\cos(a-b)-(\cos(a+b))\] \[\cos a\cdot\cos b=\frac12(\cos(a-b)+(\cos(a+b))\] \[\sin a\cdot\cos b=\frac12(\sin(a-b)+(\sin(a+b))\]
Формулы половинного аргумента
\[sina2=±1-cosa2\] \[\cos\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}2}\] \[tg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos\;a}}=\frac{\sin a}{1+\cos a},\;a\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[tg\frac a2=\frac{1-\cos a}{\sin a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}=\;\frac{\sin a}{1-\cos a},\;a\neq2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\frac{1+\cos a}{\sin a}\;,\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Тригонометрическая таблица некоторых углов
В этой таблице записаны значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов некоторых углов, наиболее часто встречающихся в школьной тригонометрии. Такую таблицу следует постоянно держать под рукой, или попытаться запомнить ее значение. Сделать это проще, чем кажется, ведь некоторые значения повторяются. Например, tg 30° равно ctg 60° и наоборот tg60° равно ctg30°.
| t град | 0 | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| sin t | 0 | \[\frac12\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac{\sqrt3}2\] | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cos t | 1 | \[\frac{\sqrt3}2\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac12\] | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tg t | 0 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 1 | \[\sqrt3\] | – | 0 | – | 0 |
| ctg t | – | \[\sqrt3\] | 1 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 0 | – | 0 | – |
Что изучает тригонометрия?
Тригонометрия – это область математики, которая изучает взаимосвязи между углами и сторонами треугольников. Само слово “тригонометрия” происходит от греческих слов “трία” (три) и “γωνία” (угол). Тригонометрические функции помогают нам понимать, как изменяются стороны треугольника, когда мы изменяем его углы. Это позволяет решать различные задачи, такие как измерения расстояний, высот зданий, углов на карте и многое другое.
Например, если у нас есть прямоугольный треугольник и мы знаем один угол и длину одной из его страницы, мы можем с помощью тригонометрии установить длину другой страницы этого треугольника.
Тригонометрия имеет широкий спектр применения в таких науках, как инженерия, астрономия, физика, компьютерная графика, медицина и другие науки. Изучение тригонометрии поможет вам развить логическое мышление и математические навыки и найти ответы на разные вопросы, касающиеся углов и страниц треугольников.
