Теорема Фалеса: паралельні прямі та пропорційні відрізки

Теорема Фалеса – одна з теорем планіметрії. Її автором є давньогрецький математик та філософ Фалес Мілетський. Освітня платформа Mathema розповідає, що таке теорема Фалеса, теорема про пропорційні відрізки і хто такий Фалес Мілетський.

Як виникла теорема Фалеса

Фалес Мілетський, грецький математик і філософ, який залишив своє ім’я в історії математики завдяки своєму внеску у вирішення геометричних завдань. Його відома теорема пов’язана зі спостереженням навколишнього світу, а саме висотою піраміди Хеопса.

За легендою, Фалес вирішив завдання визначення висоти піраміди, використовуючи відношення довжини тіні піраміди до довжини тіні палиці. Сучасні математики досі вдячні Фалесу за його внесок у розвиток геометрії та його здатність знаходити математичні рішення у найнесподіваніших аспектах життя. Теорема Фалеса стала невичерпним джерелом натхнення для подальших досліджень у світі математики.

Формулювання теореми Фалеса про пропорційні відрізки

Ось яке визначення має теорема Фалеса:

Якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі a і b, відсікають на одній прямій відрізки, то вони відсікають рівні відрізки і на іншій прямій.

На малюнку зображено дві прямі, що перетинають п’ять інших паралельних прямих. Теорема Фалеса говорить, що відрізки, що утворюються при перетині (наприклад, АB і FG), будуть рівними.

Якщо FG = GH = HJ = JK, а AF ІІ BG II CH II DJ II EK, то AB = BC = CD = DE.

Теорема Фалеса про вписаний трикутник

Також теорема Фалеса називають іншу теорему, яка стосується вписаного в коло трикутника. Звучить вона так:

Вписаний у коло трикутник, одна із сторін якого є діаметром, прямокутний.

На малюнку зображено трикутник ABC, вписаний у коло з центром O. Обидва трикутники ABO та BOC рівнобедрені, їх сторони є радіусами. Отже, якщо u+v+v+u=180°, отже 2v+2u=180°, отже v+u=90°. Це свідчить, що кут ABC = 90°.