Розбір демонстраційного тесту НМТ з математики

04 04 2024

04 04 2024

Розбір демо-НМТ з математики

Усі завдання

Освітня платформа Mathema підготувала розбір демонстраційного тесту НМТ з математики. Репетиторка Mathema Юлія Баганюк розвʼязала усі завдання та розібрала найскладніші моменти тесту. Матеріал створений для абітурієнтів, які готуються до НМТ з математики. Він допоможе проаналізувати завдання та перевірити власні помилки.

Завдання 1

Щоб розв’язати цю задачу, потрібно знати,  як додавати числа та розуміти, що “на 17 більше” означає додавання числа 17. 

У першу годину надійшло 145 дзвінків.

У другу годину надійшло на 17 дзвінків більше, тобто: 145 + 17 = 162.

Тепер, щоб знайти загальну кількість дзвінків за дві години, додамо кількість дзвінків у першу і другу годину:

145 (дзвінків у першу годину) + 162 (дзвінків у другу годину) = 307.

Отже, загальна кількість дзвінків за дві години роботи гарячої лінії – 307.

Відповідь: А

Завдання 2

Щоб знайти значення x, слід розуміти, що середнє арифметичне чисел обчислюється як сума всіх чисел, поділена на їхню кількість. В задачі дано середнє арифметичне (3,5 градусів) і кількість метеостанцій для кожної температури. Ми можемо використати ці дані і скласти рівняння.

Спочатку визначимо суму всіх температур, помножених на їхню кількість:

1⋅2+3⋅3+4⋅4+х⋅1

Тепер поділимо цю суму на загальну кількість метеостанцій:

Ми знаємо, що середнє арифметичне дорівнює 3,5 градусів, отже ми можемо записати рівняння і розв’язати його:

2+9+16+x=3,5⋅10

27+х=35

27+x=35

х=35−27

x=35−27

х=8

Отже, х=8.

Відповідь: Г

Завдання 3

Бічною гранню прямої трикутної призми є прямоутник.

Відповідь:Б

Завдання 4

Підставимо у вираз 7-m значення n-1, отримаємо 

7-(n-1)

Вираз n-1 потрібно взяти в дужки, оскільки ми маємо “- “ перед m, отже потрібно від 7 відняти весь вираз n-1. 

Далі розкриваємо дужки змінюючи знаки на протилежні і зводимо подібні доданки:

7-n+1=8-n

Відповідь: В

Завдання 5

На малюнку проведемо радіуси двох кіл 

ОА – це радіус великого кола і він рівний 12 см.

О1А – радіус малого кола. О1А=8 см.

На малюнку видно, що радіус великого кола ОА складається з двох відрізків  ОО1 та  О1А. Можемо записати:

ОА= ОО11А. Звідси ми отримаємо, що шуканий відрізок ОО1=ОА-О1А. Підставимо відомі значення радіусів і обчислимо довжину  ОО1

 ОО1=12-8=4 (см)

Відповідь: Г

Завдання 6

Дана нерівність є лінійною, оскільки х знаходиться  в першому степені. Перенесемо відомі в праву частину нерівності, а невідомі залишимо в лівій. Отримаємо:

0,2х<54

Поділимо обидві частини нерівності на коефіцієнт біля х, тобто 0,2. При цьому знак нерівності залишаємо той самий, оскільки 0,2>0.

 х<54:0,2

х<270

Отже,  розв’язком нерівності є всі числа менші за 270. Запишемо це у вигляді проміжку (-∞;270). Проміжок запишемо в круглих дужках, оскільки нерівність строга, а отже 270 не включаємо в проміжок.

Відповідь: А

Завдання 7

Нулями функціями називають такі значення аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю. Тобто це ті значення, в яких у=0. На графіку це точки в яких графік функції перетинає вісь Ох. 

На рисунку графік перетинає вісь Ох в одній точці, отже функція матиме один нуль. 

Відповідь: Б

Завдання 8

Розкриємо дужки у виразі, застосовуючи до (а+b)2 формулу скороченого множення квадрат різниці (формула є в додатку до НМТ) та враховуючи – перед другою дужкою:

a2+2аb-a2-2ab-b2

Зведемо подібні доданки і отримаємо:  -b2

Відповідь: В

Завдання 9

 Побудуємо цей трикутник.

Кут В – тупий, отже він більше 90 градусів. Оскільки, сума всіх кутів трикутника рівна 180 градусів і кут В більший 90 градусів, то сума кутів А і С буде менша 90 градусів, отже,  перше твердження вірне.

Пригадаємо умову існування трикутника: трикутник існує тоді і тільки тоді, коли сума будь-яких двох його сторін більша третьої сторони. Друге твердження суперечить цій умові, а,  отже,  є неправильним.

Третє твердження є вірним, оскільки дійсно центр кола описаного навколо тупокутного трикутника буде лежати поза цим трикутником.

Отже,  правильні твердження І, ІІІ

Відповідь: Д

Завдання 10

 Розлянемо вираз |а-1| . Оскільки згідно умови а<1, тоді вираз  а-1 завжди  буде менше за 0 (наприклад: нехай а=0, 0-1=-1, -1<0).

Аналогічно |-7|. -7<0, тобто і в другому модулі підмодульний вираз теж менший за нуль. 

Пригадаємо означення модуля (є в додатках до НМТ):

Оскільки у завданні обидва підмодульні вирази від’ємні, то ми розкриваючи знак модуля, змінюючи у підмодульних виразах знаки на протилежні. Отримаємо:

|а-1|+|-7|=-а+1+7=-а+8 .

Відповідь: Д

Завдання 11

Проаналізуємо кожне рівняння системи. 

Перше рівняння системи лінійне, друге – показникове.

Розв’яжемо спочатку друге рівняння. Справа 16 ми можемо записати як 42. Таким чином наше рівняння матиме вигляд:

Застосуємо властивість степеня до правої частини і отримаємо:

Таким чином ми отримали однакові основи, а отже можемо прирівняти показники степеня.

Друге рівняння системи розв’язали і отримали, що х=-2. Можемо підставити отримане значення х в перше рівняння і знайти чому рівний у.

-2+у=5

у=5+2

у=7

Оскільки в умові завдання нам потрібно знайти добуток отриманих розв’язків, помножимо -2 на 7

-2*7=-14

Відповідь: Б

Завдання 12

Правильна чотирикутна піраміда – це піраміда,  в основі якої лежить квадрат і вершина проектується в центр вписаного і описаного кіл. Побудуємо дану піраміду і проведемо в ній апофему (висота бічної грані) і висоту.

SK- апофема. SK=15 см. 

SO – висота піраміди.

Отриманий трикутник SOK – прямокутний, оскільки SO-висота, а отже вона перпендикулярна основі (кут SOK=90о). Згідно теореми Піфагора:

ОК-це радіус вписаного кола в квадрат АВCD, а отже ОК=ВС/2

Сторону квадрата ВС можемо знайти з периметра.

РАBCD=4 *ВС=72 звідси ВС=72/4=18 (см). Отже ОК= 18/2=9 (см)

Підставимо відомі величини і знайдемо висоту SO:

Відповідь: Г

Завдання 13

Дане рівняння є найпростішим логарифмічним рівнянням. Щоб розв‘язати рівняння пригадаємо означення логарифма: логарифм – це показник до якого потрібно піднести основу, щоб отримати підлогарифмічний вираз. Використавши означення матимемо:

Застосувавши властивість степеня з від’ємним показником (є  в додатках НМТ) отримаємо:

Число 8 потрапляє в проміжок (7;9⦎

Відповідь: Д

Завдання 14

Розглянемо трикутник АВD:

, як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD, ВС і січній BD.

Застосуємо до трикутника ABD теорему синусів (є в додатках НМТ):

За правилом пропорції:

Відповідь: Д

Завдання 15

Розкриємо дужки:

Оскільки ми отримали суму двох функцій х4 та х,  застосуємо правила знаходження похідної від суми 

і знайдемо похідні використовуючи таблицю похідних (є в додатках НМТ).  Матимемо:

Відповідь: А 

Завдання 16

1. Функція не визначена в точці х=1. 

Підставимо у функцію замість х значення 1, матимемо:

Під коренем ми отримали -3, що не не належить області визначення (корінь квадратний з від’ємного числа не існує).

Відповідь: Б

2. Побудуємо графік функції у=2

Графіком є пряма паралельна осі Ох, яка перетинає вісь Оу в значенні у=2.

На графіку видно, що при значенні х=-3 функція набуватиме додатного значення.

Відповідь: Г

3. Перевіримо дану функцію на парність підставивши у функцію замість -х 

(властивість парних і непарних функцій )

Отже функція непарна.

Відповідь: Д

Завдання 17

Вираз 1

Використаємо властивість про ділення степенів з однаковими основами (є в додатках НМТ). Оскільки основи однакові, залишаємо основу ту ж саму. а показники віднімаємо. Отримаємо:

Відповідь: Д

Вираз 2

Розкладемо чисельник дробу на множники, винісши а за дужки:

Винесемо в знаменнику за дужки -1. Таким чином ми отримаємо однакові множники (а-1) в чисельнику і знаменнику, які можна скоротити. 

Відповідь: Г

Вираз 3

Даний в умові вираз логарифмічний. Внесемо знак – перед логарифмом в підлогарифмічний вираз використавши властивість логарифма (є в додатках НМТ)

Отримаємо:

 Застосуємо основну логарифмічну тотожність і матимемо:

Відповідь: В

Завдання 18

Відрізок 1

Площа квадрата рівна стороні квадрата помноженій самій на себе і рівна 36 см2 за умовою.

Звідси можемо знайти а добувши корінь з 36.

Відповідь: Г

Відрізок 2

Оскільки трапеція BMNC –  прямокутна, то висотою є сторона ВМ.

Розглянемо відрізок АМ

АМ=ВМ+АВ=15см. Звідси ВМ=АМ-АВ=15-6=9 (см) (сторону АВ ми знайшли в попередньому пункті завдання)

Відповідь: Д

Відрізок 3

Менша основа трапеції – це МN. Запишемо формулу для знаходження площі даної трапеції (є в додатках НМТ)

де  ВС, MN – основи, BM- висота.

Підставивши відомі дані в формулу, отримаємо рівняння з невідомим MN

Розв’яжемо рівняння і знайдемо довжину основи MN.

Відповідь: А

Завдання 19

Для розв’язання цієї задачі потрібно використати знання з теми “Числові послідовності”. 

Оскільки в кожному наступному ряду (починаючи зверху) на одну колоду більше, то числа які відображають кількість колод в кожному ряду є членами арифметичної прогресії. 

Нам відомо, що у верхньому ряду одна колода. отже а1=1, а у нижньому – 13, тобто аn=13. Різниця d арифметичної прогресії рівна 1, оскільки вказано. що в кожному наступному ряду на одну колоду більше.

Щоб знайти загальну кількість колод потрібно знайти суму n перших членів арифметичної прогресії. Запишемо формулу для знаходження суми (є в додатках НМТ):

З умови задачі n (кількість членів арифметично прогресії)=13

Підставимо дані у формулу і знайдемо суму:

Відповідь: 91.

Завдання 20

Це завдання з теми “ Комбінаторика”. Розгляньмо умову задачі:

  • Є 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні та 1 спортивна.
  • Політичні новини повинні бути на початку.
  • Спортивна новина повинна бути останньою.

Розгляньмо, скільки можливостей для розміщення політичних новин. Позначимо їх як P1 та P2:

  • P1 може займати перше місце, і P2 може займати друге місце.
  • P2 може займати перше місце, і P1 може займати друге місце.

Отже, є 2 можливості для розміщення політичних новин.

Тепер розглянемо розміщення суспільних новин (S1, S2, S3) після політичних новин. Ми маємо 3 новини, тому можливостей для їх розміщення буде 3! (3 факторіал).

Нарешті, спортивна новина (S) має зайняти останнє місце.

Отже, загальна кількість можливих послідовностей:

2*3!=2*6=12

2*3!=2*6=12

Отже, є 12 різних послідовностей розміщення цих 6 новин.

Відповідь: 12.

Завдання 21

Скалярний добуток двох векторів OA і AB обчислюється за формулою (є в додатках НМТ): 

де (а123) – координати першого вектора,  (b1,b2,b3) – координати другого вектора.

Координати вектора АВ відомі. Знайдемо координати вектора ОА.

Оскільки т. О – початок координат, то т. О має координати (0;0;0).

Знайдемо координати т.А (х12,z3) використовуючи вектор АВ. для цього використаємо формулу знаходження координат вектора (є в додатках НМТ). 

Звідси знайдемо координати т.А

Отже, т. А (10;-10;-1)

Знайдемо координати вектора ОА, для цього координат кінця вектора віднімаємо координати початку. Оскільки т.О має координати (0;0;0) то координати вектора ОА співпадатимуть з координатами т.А

Знайдемо скалярний добуток векторів ОА та АВ

Відповідь: -111

Завдання 22

Оскільки область значення функції синус – від -1 до 1, 

і  якщо до аргументу додати П/3 то графік функції рухатиметься по осі Ох, тобто значення функції змінюватись не буде

, а отже і

Запишемо дану подвійну нерівність у вигляді системи

Розв’яжемо кожну нерівність системи окремо

1-ша нерівність

Запишемо відповідну квадратичну функцію 

Графіком цієї функції є парабола вітки якої напрямлені вгору, оскільки біля а2 коефіцієнт більший 0. Знайдемо нулі функції, для цього прирівняємо її до 0 і розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

2-га нерівність

Графіком цієї функції також є парабола вітки якої напрямлені вгору, оскільки біля а2 коефіцієнт більший 0. Знайдемо нулі функції, для цього прирівняємо її до 0 і розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

Зобразимо на числовій прямій всі отримані розв’язки обох нерівностей і позначимо відповідні проміжки 

Розв’язком системи будуть ті проміжки,  на яких перетинаються проміжки розв’язків обох нерівностей. Оскільки нас цікавить найменше значення а, то розглянемо проміжок [-3,5;-3,25]. Найменшим значенням на цьому проміжку є -3,5.

Відповідь: -3,5.

Редактор блогу Mathema

У якому класі навчається дитина?
Який рівень знань у дитини?
Раніше займалися з репетитором?
Ваше iм'я
Hidden
Hidden

Розбір демонстраційного тесту НМТ з математики

грн./год
  • Освiта:
  • Стаж:
  • Проведенно урокiв
  • Спецiалiзацiя:
  • Категорiя:
  • Мови викладання
Забронювати урок

Про репетитора

Освітня платформа Mathema підготувала розбір демонстраційного тесту НМТ з математики. Репетиторка Mathema Юлія Баганюк розвʼязала усі завдання та розібрала найскладніші моменти тесту. Матеріал створений для абітурієнтів, які готуються до НМТ з математики. Він допоможе проаналізувати завдання та перевірити власні помилки.

Завдання 1

Щоб розв’язати цю задачу, потрібно знати,  як додавати числа та розуміти, що “на 17 більше” означає додавання числа 17. 

У першу годину надійшло 145 дзвінків.

У другу годину надійшло на 17 дзвінків більше, тобто: 145 + 17 = 162.

Тепер, щоб знайти загальну кількість дзвінків за дві години, додамо кількість дзвінків у першу і другу годину:

145 (дзвінків у першу годину) + 162 (дзвінків у другу годину) = 307.

Отже, загальна кількість дзвінків за дві години роботи гарячої лінії – 307.

Відповідь: А

Завдання 2

Щоб знайти значення x, слід розуміти, що середнє арифметичне чисел обчислюється як сума всіх чисел, поділена на їхню кількість. В задачі дано середнє арифметичне (3,5 градусів) і кількість метеостанцій для кожної температури. Ми можемо використати ці дані і скласти рівняння.

Спочатку визначимо суму всіх температур, помножених на їхню кількість:

1⋅2+3⋅3+4⋅4+х⋅1

Тепер поділимо цю суму на загальну кількість метеостанцій:

Ми знаємо, що середнє арифметичне дорівнює 3,5 градусів, отже ми можемо записати рівняння і розв’язати його:

2+9+16+x=3,5⋅10

27+х=35

27+x=35

х=35−27

x=35−27

х=8

Отже, х=8.

Відповідь: Г

Завдання 3

Бічною гранню прямої трикутної призми є прямоутник.

Відповідь:Б

Завдання 4

Підставимо у вираз 7-m значення n-1, отримаємо 

7-(n-1)

Вираз n-1 потрібно взяти в дужки, оскільки ми маємо “- “ перед m, отже потрібно від 7 відняти весь вираз n-1. 

Далі розкриваємо дужки змінюючи знаки на протилежні і зводимо подібні доданки:

7-n+1=8-n

Відповідь: В

Завдання 5

На малюнку проведемо радіуси двох кіл 

ОА – це радіус великого кола і він рівний 12 см.

О1А – радіус малого кола. О1А=8 см.

На малюнку видно, що радіус великого кола ОА складається з двох відрізків  ОО1 та  О1А. Можемо записати:

ОА= ОО11А. Звідси ми отримаємо, що шуканий відрізок ОО1=ОА-О1А. Підставимо відомі значення радіусів і обчислимо довжину  ОО1

 ОО1=12-8=4 (см)

Відповідь: Г

Завдання 6

Дана нерівність є лінійною, оскільки х знаходиться  в першому степені. Перенесемо відомі в праву частину нерівності, а невідомі залишимо в лівій. Отримаємо:

0,2х<54

Поділимо обидві частини нерівності на коефіцієнт біля х, тобто 0,2. При цьому знак нерівності залишаємо той самий, оскільки 0,2>0.

 х<54:0,2

х<270

Отже,  розв’язком нерівності є всі числа менші за 270. Запишемо це у вигляді проміжку (-∞;270). Проміжок запишемо в круглих дужках, оскільки нерівність строга, а отже 270 не включаємо в проміжок.

Відповідь: А

Завдання 7

Нулями функціями називають такі значення аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю. Тобто це ті значення, в яких у=0. На графіку це точки в яких графік функції перетинає вісь Ох. 

На рисунку графік перетинає вісь Ох в одній точці, отже функція матиме один нуль. 

Відповідь: Б

Завдання 8

Розкриємо дужки у виразі, застосовуючи до (а+b)2 формулу скороченого множення квадрат різниці (формула є в додатку до НМТ) та враховуючи – перед другою дужкою:

a2+2аb-a2-2ab-b2

Зведемо подібні доданки і отримаємо:  -b2

Відповідь: В

Завдання 9

 Побудуємо цей трикутник.

Кут В – тупий, отже він більше 90 градусів. Оскільки, сума всіх кутів трикутника рівна 180 градусів і кут В більший 90 градусів, то сума кутів А і С буде менша 90 градусів, отже,  перше твердження вірне.

Пригадаємо умову існування трикутника: трикутник існує тоді і тільки тоді, коли сума будь-яких двох його сторін більша третьої сторони. Друге твердження суперечить цій умові, а,  отже,  є неправильним.

Третє твердження є вірним, оскільки дійсно центр кола описаного навколо тупокутного трикутника буде лежати поза цим трикутником.

Отже,  правильні твердження І, ІІІ

Відповідь: Д

Завдання 10

 Розлянемо вираз |а-1| . Оскільки згідно умови а<1, тоді вираз  а-1 завжди  буде менше за 0 (наприклад: нехай а=0, 0-1=-1, -1<0).

Аналогічно |-7|. -7<0, тобто і в другому модулі підмодульний вираз теж менший за нуль. 

Пригадаємо означення модуля (є в додатках до НМТ):

Оскільки у завданні обидва підмодульні вирази від’ємні, то ми розкриваючи знак модуля, змінюючи у підмодульних виразах знаки на протилежні. Отримаємо:

|а-1|+|-7|=-а+1+7=-а+8 .

Відповідь: Д

Завдання 11

Проаналізуємо кожне рівняння системи. 

Перше рівняння системи лінійне, друге – показникове.

Розв’яжемо спочатку друге рівняння. Справа 16 ми можемо записати як 42. Таким чином наше рівняння матиме вигляд:

Застосуємо властивість степеня до правої частини і отримаємо:

Таким чином ми отримали однакові основи, а отже можемо прирівняти показники степеня.

Друге рівняння системи розв’язали і отримали, що х=-2. Можемо підставити отримане значення х в перше рівняння і знайти чому рівний у.

-2+у=5

у=5+2

у=7

Оскільки в умові завдання нам потрібно знайти добуток отриманих розв’язків, помножимо -2 на 7

-2*7=-14

Відповідь: Б

Завдання 12

Правильна чотирикутна піраміда – це піраміда,  в основі якої лежить квадрат і вершина проектується в центр вписаного і описаного кіл. Побудуємо дану піраміду і проведемо в ній апофему (висота бічної грані) і висоту.

SK- апофема. SK=15 см. 

SO – висота піраміди.

Отриманий трикутник SOK – прямокутний, оскільки SO-висота, а отже вона перпендикулярна основі (кут SOK=90о). Згідно теореми Піфагора:

ОК-це радіус вписаного кола в квадрат АВCD, а отже ОК=ВС/2

Сторону квадрата ВС можемо знайти з периметра.

РАBCD=4 *ВС=72 звідси ВС=72/4=18 (см). Отже ОК= 18/2=9 (см)

Підставимо відомі величини і знайдемо висоту SO:

Відповідь: Г

Завдання 13

Дане рівняння є найпростішим логарифмічним рівнянням. Щоб розв‘язати рівняння пригадаємо означення логарифма: логарифм – це показник до якого потрібно піднести основу, щоб отримати підлогарифмічний вираз. Використавши означення матимемо:

Застосувавши властивість степеня з від’ємним показником (є  в додатках НМТ) отримаємо:

Число 8 потрапляє в проміжок (7;9⦎

Відповідь: Д

Завдання 14

Розглянемо трикутник АВD:

, як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD, ВС і січній BD.

Застосуємо до трикутника ABD теорему синусів (є в додатках НМТ):

За правилом пропорції:

Відповідь: Д

Завдання 15

Розкриємо дужки:

Оскільки ми отримали суму двох функцій х4 та х,  застосуємо правила знаходження похідної від суми 

і знайдемо похідні використовуючи таблицю похідних (є в додатках НМТ).  Матимемо:

Відповідь: А 

Завдання 16

1. Функція не визначена в точці х=1. 

Підставимо у функцію замість х значення 1, матимемо:

Під коренем ми отримали -3, що не не належить області визначення (корінь квадратний з від’ємного числа не існує).

Відповідь: Б

2. Побудуємо графік функції у=2

Графіком є пряма паралельна осі Ох, яка перетинає вісь Оу в значенні у=2.

На графіку видно, що при значенні х=-3 функція набуватиме додатного значення.

Відповідь: Г

3. Перевіримо дану функцію на парність підставивши у функцію замість -х 

(властивість парних і непарних функцій )

Отже функція непарна.

Відповідь: Д

Завдання 17

Вираз 1

Використаємо властивість про ділення степенів з однаковими основами (є в додатках НМТ). Оскільки основи однакові, залишаємо основу ту ж саму. а показники віднімаємо. Отримаємо:

Відповідь: Д

Вираз 2

Розкладемо чисельник дробу на множники, винісши а за дужки:

Винесемо в знаменнику за дужки -1. Таким чином ми отримаємо однакові множники (а-1) в чисельнику і знаменнику, які можна скоротити. 

Відповідь: Г

Вираз 3

Даний в умові вираз логарифмічний. Внесемо знак – перед логарифмом в підлогарифмічний вираз використавши властивість логарифма (є в додатках НМТ)

Отримаємо:

 Застосуємо основну логарифмічну тотожність і матимемо:

Відповідь: В

Завдання 18

Відрізок 1

Площа квадрата рівна стороні квадрата помноженій самій на себе і рівна 36 см2 за умовою.

Звідси можемо знайти а добувши корінь з 36.

Відповідь: Г

Відрізок 2

Оскільки трапеція BMNC –  прямокутна, то висотою є сторона ВМ.

Розглянемо відрізок АМ

АМ=ВМ+АВ=15см. Звідси ВМ=АМ-АВ=15-6=9 (см) (сторону АВ ми знайшли в попередньому пункті завдання)

Відповідь: Д

Відрізок 3

Менша основа трапеції – це МN. Запишемо формулу для знаходження площі даної трапеції (є в додатках НМТ)

де  ВС, MN – основи, BM- висота.

Підставивши відомі дані в формулу, отримаємо рівняння з невідомим MN

Розв’яжемо рівняння і знайдемо довжину основи MN.

Відповідь: А

Завдання 19

Для розв’язання цієї задачі потрібно використати знання з теми “Числові послідовності”. 

Оскільки в кожному наступному ряду (починаючи зверху) на одну колоду більше, то числа які відображають кількість колод в кожному ряду є членами арифметичної прогресії. 

Нам відомо, що у верхньому ряду одна колода. отже а1=1, а у нижньому – 13, тобто аn=13. Різниця d арифметичної прогресії рівна 1, оскільки вказано. що в кожному наступному ряду на одну колоду більше.

Щоб знайти загальну кількість колод потрібно знайти суму n перших членів арифметичної прогресії. Запишемо формулу для знаходження суми (є в додатках НМТ):

З умови задачі n (кількість членів арифметично прогресії)=13

Підставимо дані у формулу і знайдемо суму:

Відповідь: 91.

Завдання 20

Це завдання з теми “ Комбінаторика”. Розгляньмо умову задачі:

  • Є 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні та 1 спортивна.
  • Політичні новини повинні бути на початку.
  • Спортивна новина повинна бути останньою.

Розгляньмо, скільки можливостей для розміщення політичних новин. Позначимо їх як P1 та P2:

  • P1 може займати перше місце, і P2 може займати друге місце.
  • P2 може займати перше місце, і P1 може займати друге місце.

Отже, є 2 можливості для розміщення політичних новин.

Тепер розглянемо розміщення суспільних новин (S1, S2, S3) після політичних новин. Ми маємо 3 новини, тому можливостей для їх розміщення буде 3! (3 факторіал).

Нарешті, спортивна новина (S) має зайняти останнє місце.

Отже, загальна кількість можливих послідовностей:

2*3!=2*6=12

2*3!=2*6=12

Отже, є 12 різних послідовностей розміщення цих 6 новин.

Відповідь: 12.

Завдання 21

Скалярний добуток двох векторів OA і AB обчислюється за формулою (є в додатках НМТ): 

де (а123) – координати першого вектора,  (b1,b2,b3) – координати другого вектора.

Координати вектора АВ відомі. Знайдемо координати вектора ОА.

Оскільки т. О – початок координат, то т. О має координати (0;0;0).

Знайдемо координати т.А (х12,z3) використовуючи вектор АВ. для цього використаємо формулу знаходження координат вектора (є в додатках НМТ). 

Звідси знайдемо координати т.А

Отже, т. А (10;-10;-1)

Знайдемо координати вектора ОА, для цього координат кінця вектора віднімаємо координати початку. Оскільки т.О має координати (0;0;0) то координати вектора ОА співпадатимуть з координатами т.А

Знайдемо скалярний добуток векторів ОА та АВ

Відповідь: -111

Завдання 22

Оскільки область значення функції синус – від -1 до 1, 

і  якщо до аргументу додати П/3 то графік функції рухатиметься по осі Ох, тобто значення функції змінюватись не буде

, а отже і

Запишемо дану подвійну нерівність у вигляді системи

Розв’яжемо кожну нерівність системи окремо

1-ша нерівність

Запишемо відповідну квадратичну функцію 

Графіком цієї функції є парабола вітки якої напрямлені вгору, оскільки біля а2 коефіцієнт більший 0. Знайдемо нулі функції, для цього прирівняємо її до 0 і розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

2-га нерівність

Графіком цієї функції також є парабола вітки якої напрямлені вгору, оскільки біля а2 коефіцієнт більший 0. Знайдемо нулі функції, для цього прирівняємо її до 0 і розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

Зобразимо на числовій прямій всі отримані розв’язки обох нерівностей і позначимо відповідні проміжки 

Розв’язком системи будуть ті проміжки,  на яких перетинаються проміжки розв’язків обох нерівностей. Оскільки нас цікавить найменше значення а, то розглянемо проміжок [-3,5;-3,25]. Найменшим значенням на цьому проміжку є -3,5.

Відповідь: -3,5.

Бiльше інформації про репетитора

Iншi вчителi

Оксана Татар

250-350 грн./год

Юлія Багнюк

250-350 грн./год

Кирило Бондарєв

250-350 грн./год